SkipList的那点事儿

Skip List的工作原理

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Skip List（跳跃表）是一种支持快速查找的数据结构，插入、查找和删除操作都仅仅只需要O(log n)对数级别的时间复杂度，它的效率甚至可以与红黑树等二叉平衡树相提并论，而且实现的难度要比红黑树简单多了。

Skip List主要思想是将链表与二分查找相结合，它维护了一个多层级的链表结构（用空间换取时间），可以把Skip List看作一个含有多个行的链表集合，每一行就是一条链表，这样的一行链表被称为一层，每一层都是下一层的”快速通道”，即如果x层和y层都含有元素a，那么x层的a会与y层的a相互连接（垂直）。最底层的链表是含有所有节点的普通序列，而越接近顶层的链表，含有的节点则越少。

对一个目标元素的搜索会从顶层链表的头部元素开始，然后遍历该链表，直到找到元素大于或等于目标元素的节点，如果当前元素正好等于目标，那么就直接返回它。如果当前元素小于目标元素，那么就垂直下降到下一层继续搜索，如果当前元素大于目标或到达链表尾部，则移动到前一个节点的位置，然后垂直下降到下一层。正因为Skip List的搜索过程会不断地从一层跳跃到下一层的，所以被称为跳跃表。

Skip List还有一个明显的特征，即它是一个不准确的概率性结构，这是因为Skip List在决定是否将节点冗余复制到上一层的时候（而在到达或超过顶层时，需要构建新的顶层）依赖于一个概率函数，举个栗子，我们使用一个最简单的概率函数：丢硬币，即概率P为0.5，那么依赖于该概率函数实现的Skip List会不断地”丢硬币”，如果硬币为正面就将节点复制到上一层，直到硬币为反。

理解Skip List的原理并不困难，下面我们将使用Java来动手实现一个支持基本需求（查找，插入和删除）的Skip List。

本文作者为SylvanasSun(sylvanas.sun@gmail.com)，首发于SylvanasSun’s Blog。
原文链接：https://sylvanassun.github.io/2017/12/31/2017-12-31-skip_list/
（转载请务必保留本段声明，并且保留超链接。）

节点与基本实现

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对于一个普通的链表节点一般只含有一个指向后续节点的指针（双向链表的节点含有两个指针，一个指向前节点，一个指向后节点），由于Skip List是一个多层级的链表结构，我们的设计要让节点拥有四个指针，分别对应该节点的前后左右，为了方便地将头链表永远置于顶层，还需要设置一个int属性表示该链表所处的层级。

    protected static class Node<K extends Comparable<K>, V> {

        private K key;

        private V value;

        private int level; // 该节点所处的层级

        private Node<K, V> up, down, next, previous;

        public Node(K key, V value, int level) {
            this.key = key;
            this.value = value;
            this.level = level;
        }

        @Override
        public String toString() {
            StringBuilder sb = new StringBuilder();
            sb.append("Node[")
                    .append("key:");
            if (this.key == null)
                sb.append("None");
            else
                sb.append(this.key.toString());

            sb.append(" value:");
            if (this.value == null)
                sb.append("None");
            else
                sb.append(this.value.toString());
            sb.append("]");
            return sb.toString();
        }
		
		// 余下都是get,set方法, 这里省略
		.....
}

接下来是SkipList的基本实现，为了能够让Key进行比较，我们规定Key的类型必须实现了Comparable接口，同时为了支持ForEach循环，该类还实现了Iterable接口。

public class SkipList<K extends Comparable<K>, V> implements Iterable<K> {
	
	// 一个随机数生成器
    protected static final Random randomGenerator = new Random();
	
	// 默认的概率
    protected static final double DEFAULT_PROBABILITY = 0.5;
	
	// 头节点
    private Node<K, V> head;

    private double probability;
	
	// SkipList中的元素数量（不计算多个层级中的冗余元素）
    private int size;

    public SkipList() {
        this(DEFAULT_PROBABILITY);
    }

    public SkipList(double probability) {
        this.head = new Node<K, V>(null, null, 0);
        this.probability = probability;
        this.size = 0;
    }
	.....
}

我们还需要定义几个辅助方法，如下所示（都很简单）：

// 对key进行检查
// 因为每条链表的头节点就是一个key为null的节点，所以不允许其他节点的key也为null
   protected void checkKeyValidity(K key) {
       if (key == null)
           throw new IllegalArgumentException("Key must be not null!");
   }

// a是否小于等于b
   protected boolean lessThanOrEqual(K a, K b) {
       return a.compareTo(b) <= 0;
   }

// 概率函数
   protected boolean isBuildLevel() {
       return randomGenerator.nextDouble() < probability;
   }

// 将y水平插入到x的后面
   protected void horizontalInsert(Node<K, V> x, Node<K, V> y) {
       y.setPrevious(x);
       y.setNext(x.getNext());
       if (x.getNext() != null)
           x.getNext().setPrevious(y);
       x.setNext(y);
   }

// x与y进行垂直连接
   protected void verticalLink(Node<K, V> x, Node<K, V> y) {
       x.setDown(y);
       y.setUp(x);
   }

查找

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查找一个节点的过程如下：

• 从顶层链表的头部开始进行遍历，比较每一个节点的元素与目标元素的大小。

• 如果当前元素小于目标元素，则继续遍历。

• 如果当前元素等于目标元素，返回该节点。

• 如果当前元素大于目标元素，移动到前一个节点（必须小于等于目标元素），然后跳跃到下一层继续遍历。

• 如果遍历至链表尾部，跳跃到下一层继续遍历。

  protected Node<K, V> findNode(K key) {
      Node<K, V> node = head;
      Node<K, V> next = null;
      Node<K, V> down = null;
      K nodeKey = null;

      while (true) {
          // 不断遍历直到遇见大于目标元素的节点
          next = node.getNext();
          while (next != null && lessThanOrEqual(next.getKey(), key)) {
              node = next;
              next = node.getNext();
          }
	// 当前元素等于目标元素，中断循环
          nodeKey = node.getKey();
          if (nodeKey != null && nodeKey.compareTo(key) == 0)
              break;
          // 否则，跳跃到下一层级
          down = node.getDown();
          if (down != null) {
              node = down;
          } else {
              break;
          }
      }

      return node;
  }
	
  public V get(K key) {
      checkKeyValidity(key);
      Node<K, V> node = findNode(key);
// 如果找到的节点并不等于目标元素，则目标元素不存在于SkipList中
      if (node.getKey().compareTo(key) == 0)
          return node.getValue();
      else
          return null;
  }

插入

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插入操作的过程要稍微复杂些，主要在于复制节点到上一层与构建新层的操作上。

  public void add(K key, V value) {
      checkKeyValidity(key);
// 直接找到key，然后修改对应的value即可
      Node<K, V> node = findNode(key);
      if (node.getKey() != null && node.getKey().compareTo(key) == 0) {
          node.setValue(value);
          return;
      }
	
// 将newNode水平插入到node之后
      Node<K, V> newNode = new Node<K, V>(key, value, node.getLevel());
      horizontalInsert(node, newNode);
      
      int currentLevel = node.getLevel();
      int headLevel = head.getLevel();
      while (isBuildLevel()) {
          // 如果当前层级已经到达或超越顶层
	// 那么需要构建一个新的顶层
          if (currentLevel >= headLevel) {
              Node<K, V> newHead = new Node<K, V>(null, null, headLevel + 1);
              verticalLink(newHead, head);
              head = newHead;
              headLevel = head.getLevel();
          }
          // 找到node对应的上一层节点
          while (node.getUp() == null) {
              node = node.getPrevious();
          }
          node = node.getUp();

	// 将newNode复制到上一层
          Node<K, V> tmp = new Node<K, V>(key, value, node.getLevel());
          horizontalInsert(node, tmp);
          verticalLink(tmp, newNode);
          newNode = tmp;
          currentLevel++;
      }
      size++;
  }

删除

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对于删除一个节点，需要先找到节点所在的位置（位于最底层链表中的位置），之后再自底向上地删除该节点在每一行中的冗余复制。

public void remove(K key) {
    checkKeyValidity(key);
    Node<K, V> node = findNode(key);
    if (node == null || node.getKey().compareTo(key) != 0)
        throw new NoSuchElementException("The key is not exist!");

    // 移动到最底层
    while (node.getDown() != null)
        node = node.getDown();
    // 自底向上地进行删除
    Node<K, V> prev = null;
    Node<K, V> next = null;
    for (; node != null; node = node.getUp()) {
        prev = node.getPrevious();
        next = node.getNext();
        if (prev != null)
            prev.setNext(next);
        if (next != null)
            next.setPrevious(prev);
    }

    // 对顶层链表进行调整，去除无效的顶层链表
    while (head.getNext() == null && head.getDown() != null) {
        head = head.getDown();
        head.setUp(null);
    }
    size--;
}

迭代器

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由于我们的SkipList实现了Iterable接口，所以还需要实现一个迭代器。对于迭代一个Skip List，只需要找到最底层的链表并且移动到它的首节点，然后进行遍历即可。

  @Override
  public String toString() {
      StringBuilder sb = new StringBuilder();
      Node<K, V> node = head;

      // 移动到最底层
      while (node.getDown() != null)
          node = node.getDown();

      while (node.getPrevious() != null)
          node = node.getPrevious();

      // 第一个节点是头部节点，没有任何意义，所以需要移动到后一个节点
      if (node.getNext() != null)
          node = node.getNext();

// 遍历
      while (node != null) {
          sb.append(node.toString()).append("\n");
          node = node.getNext();
      }

      return sb.toString();
  }

  @Override
  public Iterator<K> iterator() {
      return new SkipListIterator<K, V>(head);
  }

  protected static class SkipListIterator<K extends Comparable<K>, V> implements Iterator<K> {

      private Node<K, V> node;

      public SkipListIterator(Node<K, V> node) {
          while (node.getDown() != null)
              node = node.getDown();

          while (node.getPrevious() != null)
              node = node.getPrevious();

          if (node.getNext() != null)
              node = node.getNext();

          this.node = node;
      }

      @Override
      public boolean hasNext() {
          return this.node != null;
      }

      @Override
      public K next() {
          K result = node.getKey();
          node = node.getNext();
          return result;
      }

      @Override
      public void remove() {
          throw new UnsupportedOperationException();
      }
  }

本文中实现的SkipList完整代码地址

参考文献

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• Skip list - Wikipedia